Dissertazione da infinito a zero (tanto per sapere)
La matematica con cui ci confrontiamo è “infestata” da funzioni(1) che tendono all’infinito. Se la variabile x tende all’infinito, la funzione x2 tende all’infinito più velocemente e la funzione esponenziale exp(x) tende all’infinito ancora più velocemente.
Consideriamo una funzione f(n) tendente all’infinito il più velocemente possibile. Detta funzione, contrariamente a quanto si dice, non è calcolabile(2). La funzione f(n+1) è ancora più “veloce” nel tendere verso l’infinito? Resta comunque incalcolabile! Una funzione incalcolabile non appartiene alla sfera del conoscibile. I numeri incalcolabili non esistono.
Prendiamo in considerazione la “successione di Goodstein”(3) con i concetti di dilatazione e numero/seme (n). Se scriviamo un numero n in base p e sostituiamo p con p+1, cioè “dilatiamo” di 1 tutti i numeri (ad esempio sostituiamo 5 con 6), otteniamo un numero molto più grande. La successione di Goodstein dovrebbe tendere quindi velocemente all’infinito. Ma… meraviglia! Il teorema di Goodstein dice che, qualsiasi sia il seme n, essa raggiunge il valore Zero (0). Questo fenomeno è dovuto alla presenza del fattore -1 in ogni elemento della successione. In questo modo si esce dalla matematica/aritmetica e si va agli ordinali transfiniti (4).
Si dice che il Teorema di Goodstein, che “gioca” sui numeri interi, sia la dimostrazione dell’infinito in matematica, io direi dello Zero (0)!
(1) ^ Una funzione generica si indica con la lettera “f” e descrive come varia una grandezza in rapporto a un’altra. Si scrive y=f(x) e si legge “y uguale a f di x”, dove y e x sono le due grandezze. Ad esempio, l’area (y) del pavimento di una stanza quadrata è funzione della lunghezza della parete (x) e si scrive matematicamente y = x · x, dove la funzione è la moltiplicazione della lunghezza della parete per se stessa.
(2) ^ Una funzione si dice “calcolabile” quando un qualsiasi computer può essere programmato per calcolarne i valori.
(3) ^ La successione di Goodstein gp(n) è ottenuta applicando un procedimento matematico basato sulla scomposizione dei Numeri Interi secondo la base p e sottraendo al risultato 1. Tale successione si fa partire da un qualunque numero intero n, chiamato “seme”. Goodstein nel 1944, affermava: “Quale che sia il seme di partenza n, la serie di seme n alla fine raggiunge il valore 0 (zero)”. Si tratta di un paradosso dovuto certamente alla presenza del termine –1 che, per quanto microscopico, rallenta la crescita della serie facendola decrescere fino al valore 0 (zero) dopo un numero finito di iterazioni. I numeri interi sono oggetti finiti, quindi tutte le loro proprietà dovrebbero essere dimostrabili in assenza del concetto di infinito. Per contro il teorema di Goodstein può essere dimostrato solo con l’infinito, poiché necessita dell’uso degli ordinali transfiniti che sono oggetti infiniti.
(4) ^ Gli ordinali transfiniti, ideati dal matematico Georg Cantor, estendono al caso di insiemi con infiniti elementi i concetti di numero cardinale e ordinale dell’aritmetica ordinaria (nella quale questi concetti si riferiscono a insiemi con un numero finito di elementi).